【幂级数展开公式】在数学分析中，幂级数是一个重要的工具，广泛应用于函数逼近、分数阶方程求解和数值计算等领域。通过将幂级数展开为一个常用函数，可以更方便地分析和计算该函数。以下是一些常用的幂级数展开公式，方便复习和应用。a_n (x - x_0)^n$ 的无穿级数，其中 $a_n$ 为系数，$x_0$ 为展开中心。 = $0 的中心（即麦克劳林列时）.函数幂级数数字式，半径收敛 $e^x$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ $\infty$ $\sin x$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n 1}}{(2n 1)!}$ $\infty$ $\cos x$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ $\infty$ $\ln(1 x)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n 1} x^n}{n}$ $1$ $\arctan x$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n) 1}}{2n 1}$ $1$ $\arcsin x$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n 1)} x^{2n 1}$ $1$ $\frac{1}{1-x}$ $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ $1$ $\frac{1}{1 x}$ $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ $1$ $(1 x)^k$ (任意实数 $k$ ) $\sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n$ $1$ $\tan x$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n} - 1) B_n}{(2n)!} x^{2n-1}$ $\frac{\pi}{2}$ 收敛性：每一类数都有一个收敛半径，超出该范围的数可以释放。

2. 展开点：上述公式在 $x=0$ 处展开，在其他点需要展开，并且需要以 ρ 级数的形式使用。

3. 应用：ρ 级数常用于近似计算、函数分析、微象限方程等。

4.特殊函数：函数复数部分的展开公式（如 $\arcsin x$、$\tan x$）较为复杂，通常用特殊函数表示。

四、总结

幂级数展开是数学分析的基本工具之一，掌握常用函数的展开公式有助于提高计算效率和对函数性质的理解。上表列出了常用幂级数展开公式及其收敛范围，适用于教学、科研和工程应用。